Hur man löser logaritmiska ekvationer

Innehåll

• stadier
• Preliminär: vet hur man förvandlar en logaritmisk ekvation till en ekvation med krafter
• Metod 1 Hitta x
• Metod 2 Hitta x med hjälp av logaritmens produktregel
• Metod 3 Hitta x med hjälp av logaritmkvotientregeln

Logaritmiska ekvationer är inte vid första anblicken de enklaste att lösa i matematik, men de kan omvandlas till ekvationer med exponenter (exponentiell notation). Således, om du lyckas göra denna omvandling och om du behärskar beräkningen med krafterna, bör du enkelt lösa den här typen av ekvationer. OBS: termen "log" kommer då och då att användas istället för "logaritm", de är utbytbara.

stadier

Preliminär: vet hur man förvandlar en logaritmisk ekvation till en ekvation med krafter

1. 
   

   
   Låt oss börja med definitionen av logaritm. Om du vill beräkna logaritmer, vet att de inte är något annat än ett speciellt sätt att uttrycka krafter. Låt oss börja med en av de klassiska villkoren för logaritm:
   • y = logg_b (X)
     • om och bara om: b = x
   • b är basen för logaritmen. Två villkor måste vara uppfyllda:
     • b> 0 (b måste vara strikt positiv)
     • b får inte vara lika med 1
   • I exponentiell notation (andra ekvationen ovan), där är kraften och x är det så kallade exponentiella uttrycket, i själva verket det värde man letar efter loggen.

2. 
   

   
   
   
   Observera ekvationen noggrant. Mot en logaritmisk ekvation måste vi identifiera basen (b), kraften (y) och det exponentiella uttrycket (x).
   • exempel : 5 = logg₄(1024)
     • b = 4
     • y = 5
     • x = 1024

3. 
   

   
   Placera det exponentiella uttrycket på en sida av ekvationen. Placera till exempel ditt värde x till vänster om skylten "=".
   • exempel : 1024 = ?

4. 
   

   
   Lyft basen till den angivna kraften. Värdet tilldelat till databasen (b) måste multipliceras med sig själv så många gånger som kraften indikerar (där).
   • exempel : 4 x 4 x 4 x 4 x 4 =?
     • I korthet ger detta: 4

5. 
   

   
   
   
   Skriv ditt svar. Du kan nu skriva om logaritmen i exponentiell notation. Se till att din jämlikhet är korrekt genom att göra om beräkningen.
   • exempel : 4 = 1024

Metod 1 Hitta x

1. 
   

   
   Isolera logaritmen. Målet är verkligen att förstöra loggen första gången. För detta passerar vi alla icke-logaritmiska medlemmar på andra sidan av ekvationen. Glöm inte att vända operativa tecken!
   • exempel : logg₃(x + 5) + 6 = 10
     • log₃(x + 5) + 6 - 6 = 10 - 6
     • log₃(x + 5) = 4

2. 
   

   
   Skriv ekvationen i exponentiell form. För att kunna hitta "x" måste du gå från logaritmisk notation till exponentiell notation, den senare är lättare att lösa.
   • exempel : logg₃(x + 5) = 4
     • Börjar från den teoretiska ekvationen y = logg_b (X)], applicera det på vårt exempel: y = 4; b = 3; x = x + 5
     • Skriv ekvationen som: b = x
     • Vi får här: 3 = x + 5

3. 
   

   
   hitta x. Du står nu inför en ekvation av den första graden, som är lätt att lösa. Det kan vara andra eller tredje grad.
   • exempel : 3 = x + 5
     • (3) (3) (3) (3) = x + 5
     • 81 = x + 5
     • 81 - 5 = x + 5 - 5
     • 76 = x

4. 
   

   
   Ange ditt definitiva svar. Värdet du hittade för "x" är svaret på din logaritmiska ekvation: logg₃(x + 5) = 4.
   • exempel : x = 76

Metod 2 Hitta x med hjälp av logaritmens produktregel

1. 
   

   
   Du måste känna till regeln om loggarnas produkt (multiplikation). Enligt den första egenskapen i loggarna, det som gäller produkten från loggarna (av samma bas sentend!), Är en produkts logg lika med summan av loggarna för elementen i produkten. illustration:
   • log_b(m x n) = logg_b(m) + logg_b(N)
   • Två villkor måste vara uppfyllda:
     • m> 0
     • n> 0

2. 
   

   
   Isolera stockarna på ena sidan av ekvationen. Målet är verkligen att först förstöra stockarna. För detta passerar vi alla icke-logaritmiska medlemmar på andra sidan av ekvationen. Glöm inte att vända operativa tecken!
   • exempel : logg₄(x + 6) = 2 - logg₄(X)
     • log₄(x + 6) + logg₄(x) = 2 - logg₄(x) + logg₄(X)
     • log₄(x + 6) + logg₄(x) = 2

3. 
   

   
   Tillämpa regeln om produkten från stockarna. Här kommer vi att tillämpa det i motsatt riktning, nämligen att summan av stockarna är lika med produktens logg. Vad ger oss:
   • exempel : logg₄(x + 6) + logg₄(x) = 2
     • log₄ = 2
     • log₄(x + 6x) = 2

4. 
   

   
   Skriv om ekvationen med krafter. Kom ihåg att en logaritmisk ekvation kan omvandlas till en ekvation med exponenter. Som tidigare kommer vi att gå till exponentiell notation för att lösa problemet.
   • exempel : logg₄(x + 6x) = 2
     • Utifrån den teoretiska ekvationen, låt oss tillämpa den på vårt exempel: y = 2; b = 4; x = x + 6x
     • Skriv ekvationen som: b = x
     • 4 = x + 6x

5. 
   

   
   hitta x. Du står nu inför en andra gradsekvation, som är lätt att lösa.
   • exempel : 4 = x + 6x
     • (4) (4) = x + 6x
     • 16 = x + 6x
     • 16 - 16 = x + 6x - 16
     • 0 = x + 6x - 16
     • 0 = (x - 2) (x + 8)
     • x = 2; x = -8

6. 
   

   
   Skriv ditt svar. Ofta har vi två svar (rötter). Det bör kontrolleras i startekvationen om dessa två värden är lämpliga. Vi kan faktiskt inte beräkna loggen för ett negativt tal! Ange det enda giltiga svaret.
   • exempel : x = 2
   • Vi kommer aldrig ihåg det tillräckligt: ​​loggen för ett negativt nummer finns inte, så du kan här avföra - 8 som en lösning. Om vi ​​tog -8 som svar, i grundekvationen, skulle vi ha: logg₄(-8 + 6) = 2 - logg₄(-8), dvs logg₄(-2) = 2 - logg₄(-8). Kan inte beräkna loggen för ett negativt värde!

Metod 3 Hitta x med hjälp av logaritmkvotientregeln

1. 
   

   
   Du måste känna till regeln som gäller uppdelningen av loggar. Enligt den andra egenskapen i loggarna, det som gäller uppdelningen av loggarna (av samma bas sentend!), Är en kvotens logg lika med skillnaden i tellerens logg och nämnarens logg. illustration:
   • log_b(m / n) = logg_b(m) - logg_b(N)
   • Två villkor måste vara uppfyllda:
     • m> 0
     • n> 0

2. 
   

   
   Isolera stockarna på ena sidan av ekvationen. Målet är verkligen att först förstöra stockarna. För detta passerar vi alla icke-logaritmiska medlemmar på andra sidan av ekvationen. Glöm inte att vända operativa tecken!
   • exempel : logg₃(x + 6) = 2 + logg₃(x - 2)
     • log₃(x + 6) - logg₃(x - 2) = 2 + logg₃(x - 2) - logg₃(x - 2)
     • log₃(x + 6) - logg₃(x - 2) = 2

3. 
   

   
   Använd regeln för loggkvoter. Här kommer vi att tillämpa det i motsatt riktning, nämligen att skillnaden mellan stockarna är lika med kvotens logg. Vad ger oss:
   • exempel : logg₃(x + 6) - logg₃(x - 2) = 2
     • log₃ = 2

4. 
   

   
   Skriv om ekvationen med krafter. Kom ihåg att en logaritmisk ekvation kan omvandlas till en ekvation med exponenter. Som tidigare kommer vi att gå till exponentiell notation för att lösa problemet.
   • exempel : logg₃ = 2
     • Utifrån den teoretiska ekvationen, låt oss tillämpa den på vårt exempel: y = 2; b = 3; x = (x + 6) / (x - 2)
     • Skriv ekvationen som: b = x
     • 3 = (x + 6) / (x - 2)

5. 
   

   
   hitta x. Nu när det inte finns fler loggar utan krafter bör du hitta enkelt x.
   • exempel : 3 = (x + 6) / (x - 2)
     • (3) (3) = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 (x - 2) = (x - 2) & mdash; vi multiplicerar båda sidor med (x - 2)
     • 9x - 18 = x + 6
     • 9x - x - 18 + 18 = x - x + 6 + 18
     • 8x = 24
     • 8x / 8 = 24/8
     • x = 3

6. 
   

   
   Ange ditt definitiva svar. Ta tillbaka dina beräkningar och gör en check. När du är säker på ditt svar, skriv det definitivt.
   • exempel : x = 3