Hur man förenklar en kvadratrot

Innehåll

• stadier
• Metod 1 Förenkla en rot med factoring
• Metod 2 Känner till några perfekta rutor
• Metod 3 En del terminologi

en kvadratrot är inte komplicerad. Det är nödvändigt att faktorera radikan för att om möjligt visa en perfekt fyrkant, varefter vi kan ta den senare ur roten. Så du måste känna till några perfekta rutor, lära dig att faktorisera och du kommer att förenkla en kvadratrot.

stadier

Metod 1 Förenkla en rot med factoring

1. Förstå vad faktorisering är. I allmänhet, när du förenklar en kvadratrot är det att göra det lättare att hantera, till exempel i senare beräkningar. Factoring består av att först dela upp ett antal i faktorer. Således 9 = 3 x 3. När nedbrytningen är klar kan vi skriva om roten i förenklad form (ofta, men inte alltid!), Ibland omvandla den till ett heltal. Således √9 = √ (3x3) = 3. Detta är ett enkelt exempel, låt oss gå vidare till mer komplicerade exempel.

2. 
   

   
   Dela radikan successivt genom att öka primtalet. Om din radicande är jämn, dela den med 2. Om den är udda, prova 3. Om din radicand slutar på 5 eller 0, dela den med 5. Om ingenting fungerar, prova följande primtal tills du hittar ett. Om vi ​​bara testar primtalen är det att de andra är kombinationer av dessa nummer. Således är det värdelöst att försöka dela en radicande med 4, om den inte ens är i början. Här är de första siffrorna ... först:
   • 2
   • 3
   • 5
   • 7
   • 11
   • 13
   • 17

3. 
   

   
   
   
   Skriv ner din radicand som en produkt (multiplikation). För tillfället bör du inte komma ur roten utan hitta radikandfaktorerna. Se till exempel om vi kan förenkla √98. Leta efter huvudfaktorerna: 98 ÷ 2 = 49 eller för våra ändamål: 98 = 2 x 49. Byt ut "98" under rotens tecken med 2 x 49: √98 = √ (2 x 49).

4. 
   

   
   Upprepa samma sak med det återstående numret. Vi kommer bara att förenkla när allt har delats upp i främsta faktorer och perfekta torg. Faktum är att bara de perfekta rutorna kan tas ur roten: uttrycket √ (2 x 2) motsvarar "antalet som multiplicerar med sig själv är 2 x 2". Svaret är uppenbart här, eftersom det är ... 2! Om du förstår rätt kan vi komma tillbaka till vårt exempel √ (2 x 49):
   • 2 har redan införts (detta är ett av de primära numren på listan).Vi kommer för tillfället att vara okunniga och intresserade av 49.
   • 49 kan inte delas med 2, 3 eller 5. Du kan kontrollera! Vi måste fortsätta söka med följande primtal.
   • 49 är bara delbar med 7: 49 ÷ 7 = 7, så 49 = 7 x 7.
   • Omformulera sedan roten: √ (2 x 49) = √ (2 x 7 x 7).

5. 
   

   
   
   
   Förenkla genom att "gå ut" det perfekta torget. Om du i radicand har två identiska faktorer kommer du att kunna ta den ur roten, de andra kvar i radicand. Således √ (2 x 7 x 7) = √ (2) √ (7 x 7) = √ (2) x 7 = 7√ (2).
   • Även om det teoretiskt är möjligt att helt sönderdela en radikand till primära faktorer, är det värdelöst att gå så långt som du redan har hittat perfekta rutor. Till exempel √ (16) = √ (4 x 4) = 4. Denna sönderdelning är tillräcklig eftersom vi har ett svar. Vi kunde ha gjort: √ (16) = √ (4 x 4) = √ (2 x 2 x 2 x 2) = √ (2 x 2) x √ (2 x 2) = 2 x 2 = 4. Du Se, det är längre!

6. 
   

   
   Om det finns flera, multiplicera mellan dem heltal (koefficienter) som kommer ut ur roten. När radicand är stor, händer det ofta. Det finns flera förenklingar att göra. Om så är fallet, multiplicera när de visas heltal från roten. Ta exemplet på √180:
   • √180 = √ (2 x 90)
   • √180 = √ (2 x 2 x 45)
   • √180 = 2√45, men vi kan fortfarande förenkla.
   • √180 = 2√ (3 x 15)
   • √180 = 2√ (3 x 3 x 5)
   • √180 = (2)(3√5)
   • √180 = 6√5

7. 
   

   
   Ange "oreducerbar rot" om du inte hittar någon perfekt fyrkant när du sönderdelas. Det är verkligen möjligt att du stöter på rötter som redan är reducerade till deras enklaste uttryck, de sägs vara "oåterkalleliga". Om du sönderdelar radikanen helt i primtal, alla olika från varandra, har du att göra med en oåterkallelig rot. Dåligt tecken! Ta exemplet på 7070:
   • som 70 = 35 x 2, sedan √70 = √ (35 x 2)
   • som 35 = 7 x 5, sedan √ (35 x 2) = √ (7 x 5 x 2)
   • Dessa tre faktorer är primtal, alla olika, det finns ingen perfekt kvadrat: roten kan inte förenklas.

Metod 2 Känner till några perfekta rutor

1. 
   

   
   Lär dig med hjärta några perfekta rutor och deras tillhörande rötter. Att höja ett kvadratnummer (multiplicera det med sig själv) ger en perfekt kvadrat. Till exempel är 25 en perfekt kvadrat eftersom 5 x 5 (= 5) ger 25. Det är bra att känna till de tio bästa perfekta rutorna och deras tillhörande rötter, det hjälper dig mycket att förenkla stora antal. Här är listan över de första:
   • 1 = 1
   • 2 = 4
   • 3 = 9
   • 4 = 16
   • 5 = 25
   • 6 = 36
   • 7 = 49
   • 8 = 64
   • 9 = 81
   • 10 = 100

2. 
   

   
   Hitta kvadratroten till en perfekt fyrkant. Om du ser en av dessa perfekta rutor under en rot, är det enkelt: du tar bort skylten √ och anger startnumret. Så om du ser 25 i radicand, vet du omedelbart att svaret kommer att vara 5, eftersom 25 är kvadratet med 5. Här är listan över de första rötterna, nämligen progressivt av hjärta:
   • √1 = 1
   • √4 = 2
   • √9 = 3
   • √16 = 4
   • √25 = 5
   • √36 = 6
   • √49 = 7
   • √64 = 8
   • √81 = 9
   • √100 = 10

3. 
   

   
   Faktorera radikan så att du har åtminstone ett perfekt torg. Vid tillverkningstillfället, var uppmärksam på det slutliga utseendet på ett perfekt torg. Detta sparar mycket tid att förenkla. Här är några exempel:
   • √50 = √ (25 x 2) = √ (5 x 5 x 2) = 5√2. Om någon av faktorerna slutar på 25, 50 eller 75, kan du åtminstone avsluta 5 från roten.
   • √1700 = √ (100 x 17) = √ (10 x 10 x 17) = 10√17. Om någon av faktorerna slutar 00, kan du åtminstone avsluta 10 från roten.
   • √72 = √ (9 x 8) = √ (3 x 3 x 8) = 3√8. Försök alltid se om 9 inte skulle vara en av faktorerna. Det finns ett trick att veta om ett nummer är delbart med 9: lägg bara till alla siffror i det numret och om summan är 9, så är ditt nummer ett multipel av 9.
   • √12 = √ (4 x 3) = √ (2 x 2 x 3) = 2√3. Vi måste också försöka se om radikanden inte är delbar med 4. Det finns ingen speciell dastuce, men med små radikandor ser vi snabbt om den är delbar. Sammanfattningsvis, kom ihåg alla dessa tips för att komma direkt till saken.

4. 
   

   
   Kontrollera att radikanden inte är produkten av flera perfekta rutor. Om du hittar fler än en, ta dem ur roten när du går. När roten blir oreducerbar multiplicerar du koefficienterna från roten. Ta exemplet på 72?
   • √72 = √ (9 x 8)
   • √72 = √ (9 x 4 x 2)
   • √72 = √ (9) x √ (4) x √ (2)
   • √72 = 3 x 2 x √2
   • √72 = 6√2

Metod 3 En del terminologi

1. 
   

   
   den radikal symbol : det är "symbolen" på kvadratroten (√). Exempel: i √25 är "√" den radikala symbolen.

2. 
   

   
   Den radicand: detta är numret under kvadratroten, den vars rot du försöker hitta. I √25 är "25" radikand.

3. 
   

   
   den koefficient : i vissa problem är det antalet som multiplicerar en kvadratrot (det är till vänster om kvadratroten). I 7√2 är "7" koefficienten.

4. 
   

   
   en faktor : det är ett tal som perfekt delar en annan (resten av denna uppdelning måste vara 0). Till exempel är 2 en faktor 8 eftersom 8 ÷ 4 = 2, men 3 nen är inte en för 8 ÷ 3 = 2,66 ..., vilket inte är ett heltal. Som ett annat exempel är 5 en faktor 25 eftersom 5 x 5 = 25.

5. 
   

   
   Förenkling av en kvadratrot : Målet är att få en perfekt fyrkant att visas under roten, dra den ur sin radikala position och placera den till vänster om rotsymbolen och lämna de andra faktorerna under den radikala symbolen. Om din radicand är ett perfekt torg försvinner rotens tecken. Således blir √98 7√2 och √25 blir 5.

• För att hitta det perfekta torget som delar din radicand kan du börja med det perfekta torget närmast radikanden och sedan minska gradvis tills du hittar en divisor. Till exempel letar du efter ett perfekt torg som skulle dela 27 börjar du med 25 (det fungerar inte!), Sedan 16 (det fungerar inte!), Sedan 9. Stopp! han är där: 9 delar 27! Andra använder motsatt metod: vi börjar med 1 och går tillbaka, 4, 9 ... Resultatet är identiskt.

• Förenkling betyder inte beräkning! På ingen tid under dessa steg ska du få decimaler!
• Kalkylatorerna är verkligen mycket användbara, särskilt om du måste extrahera roten till ett stort antal, men vänjer dig utan att göra det. Du kommer att se att med träning är det mycket enkelt och snabbt att extrahera en rot.