Hur man hittar böjningspunkterna

Innehåll

• stadier
• Metod 1 Förstå böjningspunkterna
• Metod 2 Hitta derivaten av en funktion
• Metod 3 Hitta en böjningspunkt

I differentiell beräkning är en böjningspunkt en punkt på en kurva där tecken på konkaviteten förändras (från mer à mindre eller mindre à mer). Det används inom olika discipliner, inklusive teknik, ekonomi och statistik, för att bestämma grundläggande förändringar i data. Gå till steg 1 nedan för information om hur du hittar böjningspunkterna.

stadier

Metod 1 Förstå böjningspunkterna

1. 
   

   
   Förstå de konkava funktionerna. För att förstå böjningspunkterna måste du veta hur man kan skilja de konkava funktionerna från de konvexa funktionerna. En konkav funktion är en funktion där ingen linje som förbinder två punkter på dess graf passerar över diagrammet.

2. 
   

   
   Förstå konvexa funktioner En konvex funktion är i huvudsak motsatsen till en konkav funktion: det är en funktion där ingen linje som sammanfogar två punkter på dess graf passerar under diagrammet.

3. 
   

   
   
   
   Förstå rötterna till en funktion. Rotens funktion är den punkt där funktionen avbryter eller är lika med 0.
   • Om du måste rita en funktion, skulle rötterna vara punkterna där funktionen berör x-axeln.

Metod 2 Hitta derivaten av en funktion

1. 
   

   
   Hitta det första derivatet av funktionen. Innan du kan hitta en böjningspunkt måste du hitta derivaten för funktionen. Derivatformler för grundläggande funktioner finns i alla beräkningar e. Du måste lära dig dem innan du går vidare till mer komplexa övningar. De första derivaten betecknas f (x). För polynomiska uttryck i form av axp + bx (p-1) + cx + d är det första derivatet apx (p-1) + b (p-1) x (p-2) + c.
   • För att illustrera, antar att du måste hitta inflexionspunkten för funktionen f (x) = x3 + 2x-1. Beräkna det första derivatet av denna funktion på följande sätt:
     
     f? (x) = (x3 + 2x - 1) = (x3) + (2x) - (1) = 3x2 + 2 + 0 = 3x2 + 2
2. Hitta det andra derivatet. Det andra derivatet representerar det första derivatet av det första derivatet av funktionen, betecknad f (X).

   
   

   
   
   
   
   • I exemplet ovan beräknar du det andra derivatet av funktionen enligt följande:
     
     f (x) = (3x2 + 2) = 2 × 3 × x + 0 = 6x

3. 
   

   
   Avbryt det andra derivatet. Sätt det andra derivatet lika med noll och lösa ekvationen. Ditt svar skulle förmodligen vara en böjningspunkt.
   • I exemplet nedan skulle beräkningen vara följande:
     
     f (x) = 0
     6x = 0
     x = 0

4. 
   

   
   Hitta funktionens tredje derivat. För att ta reda på om ditt svar faktiskt är en böjningspunkt, hitta det tredje derivatet som är det första derivatet av funktionens andra derivat och som betecknas av (X).
   • I exemplet ovan:
     
     f (x) = (6x) = 6

Metod 3 Hitta en böjningspunkt

1. 
   

   
   Utvärdera det tredje derivatet. Standardregeln för utvärdering av en möjlig böjningspunkt är: om det tredje derivatet inte är lika med 0 är den troliga böjningspunkten verkligen en böjningspunkt. Utvärdera ditt tredje derivat, om det inte är lika med 0, är ​​punkten faktiskt en böjningspunkt.
   • I exemplet ovan är det tredje derivatet 6 och inte 0. Detta är faktiskt en böjningspunkt.

2. 
   

   
   Hitta böjningspunkten. Koordinaten för böjningspunkten betecknas (x, f (x)), med x värdet på den variabla punkten vid böjningspunkten och f (x) värdet på funktionen vid böjningspunkten.
   • I exemplet ovan, kom ihåg att när du beräknade det andra derivatet, gav x 0. Så du måste beräkna f (0) för att bestämma dina koordinater. Din beräkning skulle se ut så här:
     
     f (0) = 03 + 2 × 0-1 = -1.

3. 
   

   
   Notera koordinaterna. Koordinaterna för böjningspunkten är: värdet på x och svaret som hittas ovan.
   • I exemplet ovan är koordinaterna för böjningspunkten (0, -1).